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问题：
[问答题]设n阶矩阵A有n个两两正交的特征向量，证明A是对称矩阵。
参考答案：
设A的n个两两正交的特征向量为α1,α2,…,αn,其对应的特征值依次为λ1,λ2,…,λn。
令ξi=αi/,αi,(i=1,2,…,n),则ξ1,ξ2,…,ξn是两两正交的单位向量。
记P=(ξ1,ξ2,…,ξn),即P是正交矩阵。从而有P-1=PT,P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=Λ,即A=PΛP-1=PΛPT,故AT=(PΛPT)T=(PT)TΛTPT=PΛPT=A,即A是对称矩阵。
设A的n个两两正交的特征向量为α1,α2,…,αn,其对应的特征值依次为λ1,λ2,…,λn。
令ξi=αi/,αi,(i=1,2,…,n),则ξ1,ξ2,…,ξn是两两正交的单位向量。
记P=(ξ1,ξ2,…,ξn),即P是正交矩阵。从而有P-1=PT,P-1AP=diag(λ1,λ2,…,λn)=Λ,即A=PΛP-1=PΛPT,故AT=(PΛPT)T=(PT)TΛTPT=PΛPT=A,即A是对称矩阵。
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